世界从根本上来说是非线性的吗？我认为是这样的。
基础理论的开始一般都仅限于线性形式的近似，大多数理论都有一个线性叠加原理。例如：电动力学里的势可以叠加、量子力学里的态叠加原理等。这些叠加原理广义上要求所描述的体系是线性的，一旦有了线性近似，则我们就可以定义某种加法的运算，这样的运算能够大大的方便理论处理。数学中的加法定义和叠加原理是相通的，我想这就是数学能够用在物理里的一个重要原因。
在数学上，尤其是微分几何中的流形，很能够体现非线性的一些性质。对于一个拓扑流形，其是局部欧式化的，所谓局部欧式化，也即局部可用线性的欧式空间来表出。这种性质在物理中可以这么理解，我们的很多理论也是具有局部意义的有效理论，对于整体，如整个空间尺度范围，从普朗克尺度到宇宙尺度来说我们的理论仅仅实在某一局部尺度内近似成立的，对于整个空间尺度显然还不能够被描述。就象一般的拓扑流形不能够用一个坐标卡来覆盖一样。这层意义来说世界应该是非线性的。
有个可怕的想法，宇宙是否真的会像一般拓扑流形一样，不能够由一套物理理论体系来覆盖。这样就真的彻底非线性了，呵呵。
最近要学习非线性电动力学，我找到了M.Born和L.Infeld的原文，文中提出了一个比叠加原理更为基本的一个原理，所谓的有限性原理。应该说，叠加原理和有限性原理是能够导致矛盾的，在Born和Infeld的电动力学里面就很明白的显示出来了。线性电动力学的场有叠加原理，而这样的原理导致了理论无法克服的矛盾－－自能无限大。为了避免这个矛盾，取消叠加原理而代之以有限性原理，类似物体的速度有极限一样，也是电场强度E有极限，这样就产生了非线性电动力学，理论变的复杂了，不过无限大的矛盾给解决了。
现在的经典理论力学真的是相当的复杂，Arnold的《经典力学的数学方法》用的竟然是以微分几何为基础的。不过，里面的内容确实让人钦佩，既然Lagrange系统和Hamilton系统自身就能够定义在微分流形上，那么我们处理这些系统的时候也就自然引进了非线性，这让我们能够研究的范围就扩大了。
这些非线性理论的发展趋势似乎是很明显的，不过我们来处理的时候还是比较希望用线性方法来处理，毕竟这样的方法容易解决问题。弦论里面的Lagrange量大多是高度非线性的，留下的问题就是直接加深了量子化的困难度。世界应该是非线性的吧?!
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十月 22nd, 2007 at 4:19 下午
在线性理论，比如量子力学的框架内，物理模型仍然可能是非线性的。主要问题是相互作用，所谓非微扰的效应现在很难处理。我想可能和你说的让理论的基本数学结构更加普遍有关。也许将来微分几何或者拓扑会成为像分析那样的基本工具也说不定
十月 22nd, 2007 at 7:25 下午
我觉得很有可能。
似乎线性的东西总有推广到非线性的可能。
十月 22nd, 2007 at 9:49 下午
恩，支持阿
十月 23rd, 2007 at 1:21 上午
Good! 有想法！
我觉得最近我的想法都枯竭了，可能是科研职业化导致的吧。很多事情都有一种标准的程序完成，比较无趣了。
十月 23rd, 2007 at 1:29 上午
再说一句，你的想法是好的，可惜现在绝大部分物理学家只会做微扰论，这几年随着计算机的发展数值计算也被引进来，但是就其物理来讲，比微扰论强不了多少。非微扰的解决方法固然好，但是大家还没能够掌握来处理成体系的问题。这也许就是形式化理论和唯象学的区别。希望你们学会后可以教会我们
十月 23rd, 2007 at 12:21 下午
to J.Y.Liu:
如果存在的话，非微扰论终将是会代替微扰论。我就Bless这东西能够存在吧 呵呵
十月 24th, 2007 at 9:18 下午
知识所能达到的深度 是在让人 震撼。。。
我 一点也 不明白 。。。
十月 27th, 2007 at 10:07 上午
“有个可怕的想法，宇宙是否真的会像一般拓扑流形一样，不能够由一套物理理论体系来覆盖。这样就真的彻底非线性了，呵呵。”
尽量还是不要这样说吧，我是从数学的意义上来讲。
虽然不能用一个坐标卡来覆盖，但是在不同的坐标卡上是有着统一的性质的，如果没有这种统一，流形这个概念就无从谈起了。
十月 27th, 2007 at 12:16 下午
to Todd:
你应该是数学专业的吧 呵呵
我仅丛物理学角度肆意的猜测，也可以当作瞎想，所以请别见怪。物理中需要有不同坐标卡之间的统一性质，不然的话物理学的统一就没有保证喽
十月 28th, 2007 at 11:03 下午
呵呵，哪里谈得上指点，只是表达一下我的看法，大家一起交流～