非对易理论使用的代数体系和代数表示非常杂乱，前面我举例的所有Algebras，都需要涉及，尽管目的就是最后的Hopf代数。
一般来说，非对易是不谈经典理论的。理由大概来自于，非对易结构本身就可以看成是算子代数的结构，故我们不用讨论。其实不然，算子代数和非对易代数是不同的，并不能简单的一句看作就可以等价。算子代数可以用来表示非对易代数，不过经典非对易理论里面的代数，并不是算子代数，而是抽想代数里涉及的环代数。其实，我们很弱，很多情况，离开了对易性质，我们就不能纵横驰骋了。环代数可以不涉及虚数i，所以它的Poisson括号是{a,b}=c。这里不好用实的或者虚的来表示环的元素，因为那是数域里才有的概念。
提出这样一个框架以后，环代数我们没有更好的办法去直接计算，这不是我们擅长的（也许以后会变得可能）。这时候，我们需要引入环代数的一种表示方法：星乘或者广义加法。这两者是等价的。星乘其实就是Fourier分析里面的卷积。当我们用星乘表示以后，表达式里面的所有变量将都是对易的，这是一种表示，不过代价是形式变得怪异，非线性的。物理中常常出现这样的事情，类似虚数的引入（因为物理量是实的，不是虚的，所以其实虚数在物理中本来没有意义，不过用了虚数会使得方程变得优美，简单，就这样我们用了。）
以上描述的是我理解中的非对易经典理论的代数体系。这些可以不出现量子理论。但是有个问题，我们在寻找星乘表达式的时候，必须借助量子理论的Fourier分析。接下来，我要说明一下非对易理论的量子力学代数体系。
其实，真正研究非对易量子力学也是本世纪初才有的，我了解的文献所知是这篇开始的，hep-th/0007046.这里的星乘严格的应该叫做星乘算子。因为量子化以后都变成算子了。也就是成为了算子代数。这时候Poisson括号成为了[a,b]=ic的形式。但是我们不能混淆，星乘算子也只是一种表示，它是以传统量子力学的算子代数来表示非对易算子代数的一种表示。所以，其实还有真正的非对易算子代数，它和传统量子力学的算子代数是有区别的，但是我们同样无法处理。
总之我们一般都用非对易的代数表示来代替非对易抽象代数进行计算。进行这样的思考以后，非对易的某些分析方法就需要进行扩展了。首先是，Poisson括号的计算，我们将只遵循Lebnitz法则。其次，是Weyl系统，我们需要把它推广到相空间，用以计算p*x和p*p这样的星乘表达式。然后，我们还需要考虑平移生成元的定义和p的相互协调，这或许可以为顺序问题提供一个好的方案。
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