Jul 01
暑假里准备去好好看看这本书。
直到最近才去图书馆打印了这本书，俺导师很推荐。
作者Pierre Ramond。从章节内容来看就足够的吸引人了：
How to Build an Action Functional
The Action Functional in Quantum Mechanics
The Feynman Path Integral in Field Theory
…
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May 19
非对易理论使用的代数体系和代数表示非常杂乱，前面我举例的所有Algebras，都需要涉及，尽管目的就是最后的Hopf代数。
一般来说，非对易是不谈经典理论的。理由大概来自于，非对易结构本身就可以看成是算子代数的结构，故我们不用讨论。其实不然，算子代数和非对易代数是不同的，并不能简单的一句看作就可以等价。算子代数可以用来表示非对易代数，不过经典非对易理论里面的代数，并不是算子代数，而是抽想代数里涉及的环代数。其实，我们很弱，很多情况，离开了对易性质，我们就不能纵横驰骋了。环代数可以不涉及虚数i，所以它的Poisson括号是{a,b}=c。这里不好用实的或者虚的来表示环的元素，因为那是数域里才有的概念。
提出这样一个框架以后，环代数我们没有更好的办法去直接计算，这不是我们擅长的（也许以后会变得可能）。这时候，我们需要引入环代数的一种表示方法：星乘或者广义加法。这两者是等价的。星乘其实就是Fourier分析里面的卷积。当我们用星乘表示以后，表达式里面的所有变量将都是对易的，这是一种表示，不过代价是形式变得怪异，非线性的。物理中常常出现这样的事情，类似虚数的引入（因为物理量是实的，不是虚的，所以其实虚数在物理中本来没有意义，不过用了虚数会使得方程变得优美，简单，就这样我们用了。）
以上描述的是我理解中的非对易经典理论的代数体系。这些可以不出现量子理论。但是有个问题，我们在寻找星乘表达式的时候，必须借助量子理论的Fourier分析。接下来，我要说明一下非对易理论的量子力学代数体系。
其实，真正研究非对易量子力学也是本世纪初才有的，我了解的文献所知是这篇开始的，hep-th/0007046.这里的星乘严格的应该叫做星乘算子。因为量子化以后都变成算子了。也就是成为了算子代数。这时候Poisson括号成为了[a,b]=ic的形式。但是我们不能混淆，星乘算子也只是一种表示，它是以传统量子力学的算子代数来表示非对易算子代数的一种表示。所以，其实还有真正的非对易算子代数，它和传统量子力学的算子代数是有区别的，但是我们同样无法处理。
总之我们一般都用非对易的代数表示来代替非对易抽象代数进行计算。进行这样的思考以后，非对易的某些分析方法就需要进行扩展了。首先是，Poisson括号的计算，我们将只遵循Lebnitz法则。其次，是Weyl系统，我们需要把它推广到相空间，用以计算p*x和p*p这样的星乘表达式。然后，我们还需要考虑平移生成元的定义和p的相互协调，这或许可以为顺序问题提供一个好的方案。
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Dec 15
在英语里Dimension有两个意思，维度和量纲。也许这不是巧合，有一点合理的地方。维度比较简单，在描述它的时候一般是同一量纲的情况下，如：三维空间。经过抽象到数学，维的定义比较简单，利用独立变量的个数来定义。物理中维的意义比数学要丰富，由于变量都有物理意义，所以物理的维也有物理意义。这使得物理中，同样是四维的情况其物理结构是不一样的：4维时空和4维空间。
我们从点、线、面、体简单的维度扩展到，时空维度，在分析力学中还有相空间维度。这是一种推广。我们再作一种推广，从自变量空间（或者把这个也推广为某个流形上）的维度推广到该空间上的函数的维度，从数学的角度我们知道，这种推广是有意义的，而且自然存在，因为两者互为对偶。然后我们考虑该空间上的Lagrange系统，我们要求Lagrange量的变分为零。这一种情况代表了零维情形，也就是说Lagrange系统函数是零维的。不过零维不代表唯一，也不代表全同，Lagrange系统仍然有其复杂多样的形式。原因在于保持零维这一条件的运动学结构不一样。
由于Lagrange系统的零维有其内部结构，所以其实际上是一种多维空间中的一个零维构造。这样的构造显然和多维空间有关。不过，同一种多维空间也有多种不同的零维构造，给Lagrange量加上一个表面项后其零维构造仍然不变，这时候是物理等价的，多出来的表面项仅仅是数学上的。刨除表面项引起的不同，其余的变化都是物理不等价的，关键在于它们的欧拉方程不同，也即运动学结构不同。现在的问题是对于不同多维空间中，如何构造零维Lagrange系统函数，才能够使零维结构相互等价。这个问题现在并没有明确答案，应该需要借助对称性来研究。
再一次推广，从数学物理中抽象出角度到语言学（这是瞎侃）。我们常说“从某某角度来看，怎样怎样”，这里的角度如果认为是3维空间中通过某个方向看。这样的认识隐含着我们认识事物的方式是一维的，线性的，所以常常需要从不同角度来认识我们周围的3维世界。不光是我们的世界，还有整个人类的知识和所有基本规律都是立体的，需要我们从不同角度来探索。
最后，给复杂的维论在加上一条更复杂的条件。结构化(Deformation)，不知道这翻译对不对，结构化的意思是给简单的独立变量加上相互联系的条件，使之不独立。最简单的例子是量子力学，其坐标和动量是不对易的。这种方式叫做结构化。这样维度的概念在微观尺度上会崩溃，不管它是怎样崩溃的，有一个有意思的定理则显示出其必然性。
Wintner Theorem:
If q,p are deformating as [q,p]=ih, then one of them has to be unbounded.
如果想进一步了解这个定理，请参考hep-th/0312305，第48页。
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Oct 30
昨天写了为什么引入场的问题，里面提到了为什么引入势，这个问题我没有分析。今天，和ZL Ou师弟讨论了一下电动力学的问题，细细想来，发现引入势的一些个原因。
势的引入是从势能（更重要的“能”）这个概念开始的，势和能是不分的，不过两者有些区别。力学中，由保守力的定义可以推出势能，它的单位是能量，是一种能量的直接形式。电学中的电势能就不同了，它的单位不是能量单位，故它只是一种能量的间接表现形式。不过，实际上在经典物理（牛顿力学框架）里面，这种初期的势的概念是不必要的，可有可无。牛顿力学可以有三定律来描述，里面并没有提到势，Maxwell理论也没有提到静电势和矢势，它们的作用是使原有理论具有等价的形式，但是没有这个等价形式理论计算照样可以进行。
能的概念的清晰化使得我们对势也有必要进行清晰化，不过如果我们不引入势，不去管总能量里面除去动能一项后剩下的是什么的话，我们也能够进行理论分析。不过这样做会很麻烦。我想第二个作用应该是势是弄清楚能的概念的必要的辅助概念。而至于能量守恒与势的引入有没有直接关系，扼或说势的引入是为了保证能量守恒，那我看未必。这样讲的原因在于我们描述物理客体可以用各种不同的方式，不过其物理实质是不会改变的，而能量守恒就是我们要求的物理实质。为什么要求能量守恒作为物理实质，那是为了简化我们的理论。
势变成理论必需的理论是场论。不管经典场论还是量子场论，其理论的基础便是用场变量来代替坐标变量。而势是一种场变量。但是只有势并不能完全描述势场，所以我们还需要势的梯度，这就像位置变量不能完全描述运动一样，我们还需要引入速度。由速度和位置两个描述才能完全确定运动。故而这时候，势已经不是一种辅助量，而是最基本的物理量了。场论中势和能是完全不同的两个概念。势不再能够用势能这个词来描述，势和能不再直接联系。只有通过能量动量张量才能联系两者。而势不再是为了能量守恒而存在，它是理论必需的。
我想，这样应该算是势引入的原因了。不过，如果考虑场论是一种局域理论的话，那么因为势是场论必需的，所以引入势就导致了理论是局域的，而局域理论的必要条件是保证能量动量张量守恒。这里仔细考虑应该这样说，势的引入和能量动量张量守恒同是使我们的理论为局域理论的条件。
下面，我简单画一个我认为物理学理论研究的思路图。仅做参考。
fig 1 经典研究思路
fig 2 弦的研究思路 （个人想法）
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Oct 29
上周六讨论会上，RX Miao同学提到了两个问题：Why field?和Why potential?然后，让我来回答回答，我说不知道，后来被奚落一番。
他表达了他的观点：“势的引入是为了能量守恒。”缘由大概是如果没有势的概念，单有动能的概念不足以使能量守恒。场的引入大概是“因为我们的理论是局域的”。并且证明了保证整体动量守恒理论必须是局域的。这个证明倒是很不错。可惜这该同学不善记文献出处，故而无法引证。对于场这个概念确实应有其 深刻的物理背景，否则我高中时老师特别强调的那句话也就没有意义了。说：“Maxwell电磁场这个概念的提出是具有极其重要的意义的。”，当然看起来仍然是一句废话，根本就没有提到如何的有意义。应该说Maxwell电磁场确是场这个东西的第一个应用。Fraday的初衷就是要描述无处不在的连续的电场或磁场。我想这个初衷值得考虑。牛顿力学里面不需要引入场这个概念，因为数学上可有可无，力的概念完全可以代劳之。可是电磁场就不同了，由于电磁作用是一种相互作用，其要考虑的不是点与点之间的关系那么简单了，所以这时候需要一种全局观点来描述。不管怎样，场的初期就是这样被引入的。
而正如前面所讲，场的理论是局域理论。用场来描述相互作用最后发现它与超距作用是不能并存的，除非我们抛弃动量守恒和能量守恒。这个原因就在于前面的那个证明。而显然物理学简洁为美的原则是不会抛弃守恒律的，所以我们只选择场的局域理论。从这层意义上来看，场的引入能够使我们的理论更简单。这个问题涉及到超距作用这样一个概念。而这个概念和因果关系是密不可分的。在相对论的框架下，超距作用的意思就是在类空空间中的两点是否能够相互影响，因果关系成立与否则取决于对类空空间中的两点分别进行测量，而这两个测量是否不相互影响。我们的相对论性理论都要求因果关系成立，所以类空空间的两个测量是不相互影响的。不过，在这里我要提出一个疑问，有关量子纠缠态，或EPR佯谬：
两个电子组成的0自旋系统，然后使它们分隔很远， 这样一个体系就是研究量子纠缠态的基本体系。如果某一时刻，我们同时分别对两个电子进行自旋态的测量，一个在Z轴方向，另一个在X轴方向，而令Y轴为它们的连线方向。那么，两个测量结果分别是什么？
如果测量有先后的话那么它们的测量结果是很好预测的，不过这里谁先谁后对测量结果有重大影响，所以问题就比较复杂了。
或许，场引入的最终缘由就在于此。不过，场的涵义已经大大的不同于初期引入的涵义了。初期的场是很具体的，说明的就是一种空间的分布。现在的场的概念则不是这样的，涵义更广，不仅指空间的分布了，可以是任何一种分布 。并且其在某一具体的坐标系中的分量有着重要的物理意义。深入研究，我感到“场在进行谱分析后其分量为生成和湮灭算子”这样的意义背后有着更为深刻的原因。或许超距作用也可以，不过去验证这个的话应该是吃饱了没事干。
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