Q Space

数学上，“加”和“乘”两个有时候是等价的，有时候又有区别。等价的时候是在抽象到抽象二元运算时，两者就没什么区别了，都可用一个符号代替。但是很多时候我们又能够发觉这两种运算不是一回事。

引用概率论的方法，几率的运算也分加法和乘法。几率可相加的条件为，描述事件发生的可能性互斥，这样两个事件不能同时发生，那么发生其中任何一个事件的几率就是两个事件的几率和。几率可相乘的条件为，描述时间发生的可能性相互独立，这样两个事件发生与否互不影响，那么同时发生这两件事的几率就是两个事件的几率积。很显然这里的加法和乘法是不同的，甚至是两个极端。在一般由几率来描述的事件都处于两种运算之间。在这里，加法和乘法是极为特殊的，由于问题的特殊性要求两个相加元素是有限制的，即这里的加法并不封闭；不过这里的乘法却是封闭的，相对于区间。可以看出不能在同一段区间内同时定义加法和乘法，它们的零元或者单位元是不同的。抽象代数里引入了环的概念似乎是出于这个原因。在一条实轴上，可以定义加法，但是不能定义乘法，问题在于乘法不允许数0的加入，所以这里要定义乘法，必须刨去0。所以，乘法和加法是不同的。

物理中的加法就是叠加原理的数学描述。当然对于基本物理量的加法是自然引入的，对长度，时间等的度量必须引入加法。我想这里加法的作用有一种周期性的表现。基本的物理量都具有这种特性，可以成倍的增加但是变化线性，原则上可以具有无限性。或者对于其总体来讲，我们一般处理的局部与整体相比是可以忽略不计的。时间如果是有限的话，那么我们现在所谓的时间均匀性恐怕很难成立，或者只能够说相比总的时间长度，我们可以把我们感知的时间看作是均匀的。

秉承上一篇文章世界是非线性的？，由广义相对论的基本假设，我认为基本物理量的定义只具有局域性质，物理单位的定义要求定义所处的环境是线性的，如：时间的定义，我们假设了时间的均匀性，才有可能定义时间。如果时间不均匀，那么我们很难定义时间。我们不知道整个时间轴是否均匀，但是我们只要时间局部均匀就可以了。空间也一样，广义相对论中的引力几何化后，空间本身就会弯曲，我们要定义其中两点之间的距离，也必须通过局部均匀的坐标系统，或者说测地线坐标系来定义长度。看来相对论使我们的空间和时间本身都不是均匀的了，这样的基本物理量都具有非线性的性质了。

可以说，线性条件是加法可以定义的必要条件。亦是叠加原理的必要条件。物理学中首次需要明确叠加原理的是电磁学。由于电场强度不是基本物理量，对于它的性质需要有一个很明确化的原理，即叠加原理。可是随着理论的日益发展，非线性电动力学并不需要这么强的原理，我们可以不需要这个。当然，对于这个叠加原理的适用范围却是很广泛的，非线性性质的体现尺度为，所以在宏观世界，叠加原理是非常适用的。

物理中的乘法似乎是作用在量纲上的，我们知道量纲的运算是乘法。而对于乘法，物理中没有对应什么原理假设，或许应该是一种默认吧。有模有样的大概就是所谓的量纲守恒吧，不过这应该说是一种验证法则。物理学中所有的方程中的项与项之间必须量纲一样。

不过，乘法的表现形式比加法要多的多，很多二元运算干脆直接用乘来表示。这方面的东西等我有想法后再说。

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世界从根本上来说是非线性的吗？我认为是这样的。

基础理论的开始一般都仅限于线性形式的近似，大多数理论都有一个线性叠加原理。例如：电动力学里的势可以叠加、量子力学里的态叠加原理等。这些叠加原理广义上要求所描述的体系是线性的，一旦有了线性近似，则我们就可以定义某种加法的运算，这样的运算能够大大的方便理论处理。数学中的加法定义和叠加原理是相通的，我想这就是数学能够用在物理里的一个重要原因。

在数学上，尤其是微分几何中的流形，很能够体现非线性的一些性质。对于一个拓扑流形，其是局部欧式化的，所谓局部欧式化，也即局部可用线性的欧式空间来表出。这种性质在物理中可以这么理解，我们的很多理论也是具有局部意义的有效理论，对于整体，如整个空间尺度范围，从普朗克尺度到宇宙尺度来说我们的理论仅仅实在某一局部尺度内近似成立的，对于整个空间尺度显然还不能够被描述。就象一般的拓扑流形不能够用一个坐标卡来覆盖一样。这层意义来说世界应该是非线性的。

有个可怕的想法，宇宙是否真的会像一般拓扑流形一样，不能够由一套物理理论体系来覆盖。这样就真的彻底非线性了，呵呵。

最近要学习非线性电动力学，我找到了M.Born和L.Infeld的原文，文中提出了一个比叠加原理更为基本的一个原理，所谓的有限性原理。应该说，叠加原理和有限性原理是能够导致矛盾的，在Born和Infeld的电动力学里面就很明白的显示出来了。线性电动力学的场有叠加原理，而这样的原理导致了理论无法克服的矛盾－－自能无限大。为了避免这个矛盾，取消叠加原理而代之以有限性原理，类似物体的速度有极限一样，也是电场强度E有极限，这样就产生了非线性电动力学，理论变的复杂了，不过无限大的矛盾给解决了。

现在的经典理论力学真的是相当的复杂，Arnold的《经典力学的数学方法》用的竟然是以微分几何为基础的。不过，里面的内容确实让人钦佩，既然Lagrange系统和Hamilton系统自身就能够定义在微分流形上，那么我们处理这些系统的时候也就自然引进了非线性，这让我们能够研究的范围就扩大了。

这些非线性理论的发展趋势似乎是很明显的，不过我们来处理的时候还是比较希望用线性方法来处理，毕竟这样的方法容易解决问题。弦论里面的Lagrange量大多是高度非线性的，留下的问题就是直接加深了量子化的困难度。世界应该是非线性的吧?!

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